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題型1:求軌跡方程 例1．(1)一動(dòng)圓與圓外切.同時(shí)與圓內(nèi)切.求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.并說明它是什么樣的曲線. (2)雙曲線有動(dòng)點(diǎn).是曲線的兩個(gè)焦點(diǎn).求的重心的軌跡方程. 解析:設(shè)動(dòng)圓圓心為.半徑為.設(shè)已知圓的圓心分別為.. 將圓方程分別配方得:.. 當(dāng)與相切時(shí).有 ① 當(dāng)與相切時(shí).有 ② 將①②兩式的兩邊分別相加.得. 即 ③ 移項(xiàng)再兩邊分別平方得: ④ 兩邊再平方得:. 整理得. 所以.動(dòng)圓圓心的軌跡方程是.軌跡是橢圓. 由解法一可得方程. 由以上方程知.動(dòng)圓圓心到點(diǎn)和的距離和是常數(shù).所以點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)為..長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于的橢圓.并且橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn).焦點(diǎn)在軸上. ∴..∴.. ∴. ∴圓心軌跡方程為. (2)如圖.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)各為.∴在已知雙曲線方程中.∴ ∴已知雙曲線兩焦點(diǎn)為. ∵存在.∴ 由三角形重心坐標(biāo)公式有.即 . ∵.∴. 已知點(diǎn)在雙曲線上.將上面結(jié)果代入已知曲線方程.有 即所求重心的軌跡方程為:. 點(diǎn)評(píng):定義法求軌跡方程的一般方法.步驟,“轉(zhuǎn)移法 求軌跡方程的方法. 例2． 已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸在軸上,離心率為,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和,橢圓G上一點(diǎn)到和的距離之和為12.圓:的圓心為點(diǎn). (1)求橢圓G的方程 (2)求的面積 (3)問是否存在圓包圍橢圓G?請(qǐng)說明理由. 解(1)設(shè)橢圓G的方程為: ()半焦距為c; 則 , 解得 , 所求橢圓G的方程為:. (2 )點(diǎn)的坐標(biāo)為 (3)若.由可知點(diǎn)(6.0)在圓外. 若.由可知點(diǎn)在圓外, 不論K為何值圓都不能包圍橢圓G. 題型2:圓錐曲線中最值和范圍問題 例3．以知F是雙曲線的左焦點(diǎn).是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn).則的最小值為 . [解析]注意到P點(diǎn)在雙曲線的兩只之間,且雙曲線右焦點(diǎn)為F’(4,0), 于是由雙曲線性質(zhì)|PF|-|PF’|＝2a＝4 而|PA|+|PF’|≥|AF’|＝5 兩式相加得|PF|+|PA|≥9,當(dāng)且僅當(dāng)A.P.F’三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立. [答案]9 已知橢圓的左.右焦點(diǎn)分別為.若橢圓上存在一點(diǎn)使.則該橢圓的離心率的取值范圍為 ． [解析1]因?yàn)樵谥?由正弦定理得 則由已知.得.即 設(shè)點(diǎn)由焦點(diǎn)半徑公式.得則 記得由橢圓的幾何性質(zhì)知.整理得 解得.故橢圓的離心率 [解析2] 由解析1知由橢圓的定義知 .由橢圓的幾何性質(zhì)知所以以下同解析1. [答案] 已知直線和直線.拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之和的最小值是( ) A.2 B.3 C. D. [考點(diǎn)定位]本小題考查拋物線的定義.點(diǎn)到直線的距離.綜合題. [解析1]直線為拋物線的準(zhǔn)線.由拋物線的定義知.P到的距離等于P到拋物線的焦點(diǎn)的距離.故本題化為在拋物線上找一個(gè)點(diǎn)使得到點(diǎn)和直線的距離之和最小.最小值為到直線的距離.即.故選擇A. [解析2]如圖.由題意可知 [答案]A 點(diǎn)評(píng):由△PAF成立的條件.再延伸到特殊情形P.A.F共線.從而得出這一關(guān)鍵結(jié)論. 例4． 在平面直角坐標(biāo)系中.拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn).經(jīng)過點(diǎn)A(2.2).其焦點(diǎn)F在軸上. (1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程, (2)求過點(diǎn)F.且與直線OA垂直的直線的方程, (3)設(shè)過點(diǎn)的直線交拋物線C于D.E兩點(diǎn).ME=2DM.記D和E兩點(diǎn)間的距離為.求關(guān)于的表達(dá)式. 設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E. (1)求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀; (2)已知,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出該圓的方程; (3)已知,設(shè)直線與圓C:相切于A1,且與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B1,當(dāng)R為何值時(shí),|A1B1|取得最大值?并求最大值. 解(1)因?yàn)?,, 所以, 即. 當(dāng)m=0時(shí),方程表示兩直線,方程為; 當(dāng)時(shí), 方程表示的是圓 當(dāng)且時(shí),方程表示的是橢圓; 當(dāng)時(shí),方程表示的是雙曲線. (2).當(dāng)時(shí), 軌跡E的方程為,設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為,解方程組得,即, 要使切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B, 則使△=, 即,即, 且 , 要使, 需使,即, 所以, 即且, 即恒成立. 所以又因?yàn)橹本�為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線, 所以圓的半徑為,, 所求的圓為. 當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),切線為,與交于點(diǎn)或也滿足. 綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓.使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且. (3)當(dāng)時(shí),軌跡E的方程為,設(shè)直線的方程為,因?yàn)橹本�與圓C:(1<R<2)相切于A1, 由(2)知, 即 ①, 因?yàn)榕c軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B1, 由(2)知得, 即有唯一解 則△=, 即, ② 由①②得, 此時(shí)A,B重合為B1(x1,y1)點(diǎn), 由 中,所以,, B1(x1,y1)點(diǎn)在橢圓上,所以,所以, 在直角三角形OA1B1中,因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以,即 當(dāng)時(shí)|A1B1|取得最大值,最大值為1. [命題立意]:本題主要考查了直線與圓的方程和位置關(guān)系,以及直線與橢圓的位置關(guān)系,可以通過解方程組法研究有沒有交點(diǎn)問題,有幾個(gè)交點(diǎn)的問題. 題型3:證明問題和對(duì)稱問題 例5．(1)如圖.橢圓＝1B(0,1)的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.且橢圓的離心率e=. (Ⅰ)求橢圓方程, (Ⅱ)設(shè)F.F分別為橢圓的左.右焦點(diǎn).M為線段AF的中點(diǎn).求證:∠ATM=∠AFT. 解 (1)由題意: .解得.所求橢圓方程為 已知橢圓()的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為.過點(diǎn)的直線與橢圓相交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn).且 (Ⅰ求橢圓的離心率, (Ⅱ)直線AB的斜率, (Ⅲ)設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.直線上有一點(diǎn)H(m,n)()在的外接圓上.求的值. 解 (1)由.得,從而 .整理得.故離心率 知..所以橢圓的方程可以寫為 設(shè)直線AB的方程為即 由已知設(shè)則它們的坐標(biāo)滿足方程組 消去y整理.得 依題意. 而.有題設(shè)知.點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn). 所以 聯(lián)立三式.解得.將結(jié)果代入韋達(dá)定理中解得. 知..當(dāng)時(shí).得A由已知得 線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸的交點(diǎn)是的外接圓的圓心.因此外接圓的方程為 直線的方程為.于是點(diǎn)滿足方程組 由.解得.故 當(dāng)時(shí).同理可得. 點(diǎn)評(píng):本小題主要考查直線.圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí).考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力. (3)在平面直角坐標(biāo)系O中.直線與拋物線＝2相交于A.B兩點(diǎn). ①求證:“如果直線過點(diǎn)T(3.0).那么＝3 是真命題, ②寫出(1)中命題的逆命題.判斷它是真命題還是假命題.并說明理由． 解析: 的直線l交拋物線y2=2x于點(diǎn)A(x1,y1).B(x12,y2). 當(dāng)直線l的鈄率下存在時(shí),直線l的方程為x=3,此時(shí),直線l與拋物線相交于A(3,).B(3,-).∴=3. 當(dāng)直線l的鈄率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x-3),其中k≠0. 當(dāng) y2=2x 得ky2-2y-6k=0,則y1y2=-6. y=k(x-3) 又∵x1=y, x2=y, ∴=x1x2+y1y2==3. 綜上所述, 命題“如果直線l過點(diǎn)T(3,0),那么=3 是真命題. ②逆命題是:設(shè)直線l交拋物線y2=2x于A.B兩點(diǎn),如果=3,那么該直線過點(diǎn)T(3,0).該命題是假命題. 例如:取拋物線上的點(diǎn)A(2,2),B(,1),此時(shí)=3, 直線AB的方程為Y=不在直線AB上. 點(diǎn)評(píng):由拋物線y2=2x上的點(diǎn)A(x1,y1).B(x12,y2)滿足=3,可得y1y2=-6.或y1y2=2.如果y1y2=-6.可證得直線AB過點(diǎn)(3,0),如果y1y2=2, 可證得直線AB過點(diǎn). 例6． 已知.橢圓C以過點(diǎn)A(1.).兩個(gè)焦點(diǎn)為. (1) 求橢圓C的方程, (2) E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù).證明直線EF的斜率為定值.并求出這個(gè)定值. (Ⅰ)解 由題意.c＝1,可設(shè)橢圓方程為. 因?yàn)锳在橢圓上.所以.解得＝3.＝. 所以橢圓方程為 ． (Ⅱ)證明 設(shè)直線AE方程:得.代入得 設(shè)E(.).F(.)．因?yàn)辄c(diǎn)A(1.)在橢圓上. 所以. . 又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù).在上式中以代.可得 . . 所以直線EF的斜率. 即直線EF的斜率為定值.其值為. 已知直線經(jīng)過橢圓 的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D.橢圓的右頂點(diǎn)為.點(diǎn)和橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn).直線.與直線 分別交于兩點(diǎn). (I)求橢圓的方程, (Ⅱ)求線段MN的長(zhǎng)度的最小值, (Ⅲ)當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí).在橢圓上是否存在這樣的點(diǎn).使得的面積為?若存在.確定點(diǎn)的個(gè)數(shù).若不存在.說明理由 解 方法一(I)由已知得.橢圓的左頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為 故橢圓的方程為 (Ⅱ)直線AS的斜率顯然存在.且.故可設(shè)直線的方程為. 從而 由得0 設(shè)則得.從而 即又 由得 故 又 當(dāng)且僅當(dāng).即時(shí)等號(hào)成立 時(shí).線段的長(zhǎng)度取最小值 可知.當(dāng)取最小值時(shí). 此時(shí)的方程為 要使橢圓上存在點(diǎn).使得的面積等于.只須到直線的距離等于.所以在平行于且與距離等于的直線上. 設(shè)直線 則由解得或 題型4:知識(shí)交匯題 例7．已知點(diǎn),是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足.設(shè)圓的方程為 (I) 證明線段是圓的直徑; (II)當(dāng)圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時(shí).求p的值. 解析:(I)證明1: 整理得: 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上下焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)1，短軸兩個(gè)端點(diǎn)為P，P1，且四邊形F1PF2P1是邊長(zhǎng)為2的正方形．
（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)△ABC，AC=2
3
，B為橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）在x軸上方的頂點(diǎn)，當(dāng)AC在直線y=-1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△ABC外接圓的圓心Q的軌跡E的方程；
（3）過點(diǎn)F（0，
3
2
）作互相垂直的直線l1l2，分別交軌跡E于M，N和R，Q．求四邊形MRNQ的面積的最小值．

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設(shè)m∈R，在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量
a
=（mx，y+1），向量
b
=（x，y-1），
a
⊥
b
，動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡為E．
（1）求軌跡E的方程，并說明該方程所表示曲線的形狀；
（2）點(diǎn)P為當(dāng)m=
1
4
時(shí)軌跡E上的任意一點(diǎn)，定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)N滿足
PN
=2
NQ
，試求點(diǎn)N的軌跡方程．

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在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M到F1(-
3
，0)、F2(
3
，0)的距離之和是4，點(diǎn)M的軌跡C與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，不過點(diǎn)A的直線l：y=kx+b與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P和Q．
（1）求軌跡C的方程；
（2）當(dāng)
AP
•
AQ
=0時(shí)，求k與b的關(guān)系，并證明直線l過定點(diǎn)．

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已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F（1，0）的距離與其到定直線l：x=4的距離之比是
12
，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為M，軌跡M與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)F的直線交軌跡M于B、C兩點(diǎn)．
（1）求軌跡M的方程；
（2）證明：當(dāng)且僅當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí)，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形；
（3）△ABC的面積是否存在最值？如果存在，求出最值；如果不存在，說明理由．

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已知F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），點(diǎn)P滿足|PF1|-|PF2|=2，記點(diǎn)P的軌跡為E．
（1）求軌跡E的方程；
（2）若直線l過點(diǎn)F2且與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn)．
（i）無論直線l繞點(diǎn)F2怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，在x軸上總存在定點(diǎn)M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求實(shí)數(shù)m的值．
（ii）過P、Q作直線x=
1
2
的垂線PA、OB，垂足分別為A、B，記λ=
|PA|+|QB|
|AB|
，求λ的取值范圍．

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